f=x^2-y^2
Gf=Grad[f,{x,y}]
VectorPlot[Gf,{x,-2,2},{y,-2,2}]
Div[Gf,{x,y}]
Curl[Gf,{x,y}]

F={y,-x}
VectorPlot[F,{x,-2,2},{y,-2,2}]
Div[F,{x,y}]
Curl[F,{x,y}]

F={y,0}
VectorPlot[F,{x,-2,2},{y,-2,2}]
Div[F,{x,y}]
Curl[F,{x,y}]

F={y^2,0}
VectorPlot[F,{x,-2,2},{y,-2,2}]
Div[F,{x,y}]
CF=Curl[F,{x,y}]
CF/.{x->1,y->1} //N
ContourPlot[CF,{x,-2,2},{y,-2,2}]

F={x,y}
VectorPlot[F,{x,-2,2},{y,-2,2}]
Div[F,{x,y}]
Curl[F,{x,y}]

F={1/(1+x),0}
VectorPlot[F,{x,-2,2},{y,-2,2}]
DF=Div[F,{x,y}]
Curl[F,{x,y}]
ContourPlot[DF,{x,-2,2},{y,-2,2}]